Volumetrisches Thermo - Anhui Marine Exchanger Co., Ltd

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 6324 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

In der vorliegenden Studie werden die thermophysikalischen Eigenschaften des Casson-Flüssigkeitsflusses untersucht, der durch eine nichtlineare, durchlässige, dehnbare Oberfläche verursacht wird. Das Rechenmodell der Casson-Flüssigkeit wird zur Definition der Viskoelastizität verwendet, die rheologisch in der Impulsgleichung quantifiziert wird. Exotherme chemische Reaktionen, Wärmeabsorption/-erzeugung, Magnetfeld und nichtlineare volumetrische Wärme-/Massenausdehnung über die gestreckte Oberfläche werden ebenfalls berücksichtigt. Die vorgeschlagenen Modellgleichungen werden durch die Ähnlichkeitstransformation zum dimensionslosen System der ODEs abgeschwächt. Der erhaltene Satz von Differentialgleichungen wird durch einen parametrischen Fortsetzungsansatz numerisch berechnet. Die Ergebnisse werden anhand von Abbildungen und Tabellen dargestellt und diskutiert. Die Ergebnisse des vorgeschlagenen Problems werden aus Gründen der Gültigkeit und Genauigkeit mit der vorhandenen Literatur und dem bvp4c-Paket verglichen. Es wurde festgestellt, dass die Energie- und Stoffübergangsrate der Casson-Flüssigkeit mit dem Aufschwung der Wärmequellenparameter bzw. der chemischen Reaktion zunahm. Die Geschwindigkeit der Casson-Flüssigkeit kann durch den steigenden Effekt der thermischen, Massen-Grashof-Zahl und nichtlinearen thermischen Konvektion erhöht werden.

In den letzten Jahren hat die Bedeutung nicht-Newtonscher Flüssigkeiten aufgrund ihrer bedeutenden Anwendung in den Bereichen Technik, Aerodynamik und Papierkram, Fertigung, Beschichtung, Polymerverarbeitung usw. zugenommen. Schlamm, Blut, Farbe und Polymerlösungen sind einige der Materialien, die diese Eigenschaft aufweisen. Aufgrund der Komplexität nicht-Newtonscher Flüssigkeiten in der physikalischen Natur gibt es kein individuelles Modell, das alle ihre Eigenschaften genau darstellen kann. Die nicht-Newtonschen Flüssigkeiten haben elastische, festkörperähnliche Eigenschaften und die Casson-Flüssigkeit ist ein Beispiel für solche Flüssigkeiten. Gbadeyan et al.1 modellierten die Casson-Flüssigkeit mit der Wirkung variabler Wärmeleitfähigkeit und Viskosität, die einen strukturviskosen Effekt in der Flüssigkeit verursacht. Akbar & Khan2 zeigten, dass die Wirkung von Konzentration und Wärme sowohl auf den Druck- als auch auf den Temperaturgradienten im porösen Medium zurückzuführen ist. Xu et al.3 verwendeten den parametrischen Fortsetzungsansatz, um ein inkompressibles Gleichstromgesetz NF zu analysieren, das gyrotaktische Mikroben enthält, die zwischen parallelen Platten mit Energieumwandlung strömen. Bindegewebe, das die Außenwand des Mikrogefäßes bedeckt, überträgt Wärme und wurde von Shaw et al.4 an der Oberfläche eingeführt, gefolgt von der Konvektion der Wärme bei Arteriosklerose, Hyperthermie und anderen Erkrankungen, bei denen Diffusion und Wärmefluss entscheidend sind. Adeosun et al.5 untersuchten den konstanten Fluss einer reaktiven Flüssigkeit durch ein gesättigtes poröses Material und beobachteten, dass der nichtlineare Konvektionsparameter sowohl Geschwindigkeits- als auch Temperaturprofile verbesserte.

Der Flüssigkeitsfluss der Magnetohydrodynamik (MHD) hat zahlreiche Anwendungen in Disziplinen wie der Pharmakologie, der Düsenindustrie und der chemischen Industrie. Aufgrund dieses breiten Anwendungsspektrums richteten die Forscher ihre Aufmerksamkeit auf MHD-beeinflusste Strömungen. Die Analyse der MHD-Casson-Flüssigkeit wird von Abo-Dahab et al.6 durch ein poröses Medium über eine ausgedehnte Oberfläche mit Saug-/Injektionswirkung sowie den Einfluss chemischer Prozesse über eine nichtlineare Oberfläche untersucht. Sie kamen zu dem Schluss, dass die Ergebnisse mit den tatsächlichen Ergebnissen übereinstimmten. Die Auswirkungen des Casson-Flüssigkeitsflusses unter dem Einfluss von MHD über eine gestreckte Oberfläche werden von Hayat et al.7 untersucht. Sie leiteten das entsprechende Modell für die Strömung ab und fanden mithilfe des homotopischen Ansatzes eine Reihenlösung. Sohail et al.8 trugen zum Verhalten der thermischen Diffusion bei und untersuchten, wie sich ein nicht-Newtonscher Flüssigkeitsstrom über eine nichtlineare Streckungsfläche bewegen kann. Ajayi et al.9 untersuchten den Fluss von Nicht-Newtonschen Strömungen über horizontale, vertikale, geneigte und kegelförmige Strömungen. In dem Energie aufgrund der Temperatur der plastischen dynamischen Viskosität verbunden ist. Mukhopadhyay et al.10 entdeckten den Fluss nicht-Newtonscher Flüssigkeit an der Grenzschicht und die Energiewärmeübertragung über eine ausgedehnte durchlässige Oberfläche. Es wurde festgestellt, dass durch die Erhöhung des Casson-Parameters das Geschwindigkeitsfeld abnimmt und das Temperaturfeld zunimmt. Alsaedi et al.11 klären, wie durch Casson-Flüssigkeit Wärme an der Oberfläche übertragen wird. Zaib et al.12 diskutierten die Wärmeübertragung durch eine durchlässige Folie unter der viskosen Dissipation der Casson-Flüssigkeit in einer zweidimensionalen Strömung an der Grenze. Aneja et al.13 erhalten die Probleme als Casson-Flüssigkeit, die in quadratischen porösen Hohlräumen verwendet wird. Mukhopadhyay14 präsentierte die Wärmeübertragung einer nicht-Newtonschen Flüssigkeit über eine nichtlineare gestreckte Oberfläche. Khan et al.15 beobachteten eine viskose Dissipation, indem sie die Effekte vernachlässigten, und untersuchten den Stofftransfer über eine Streckfolie mit Casson-Flüssigkeit. Khan et al.16 untersuchen den Effekt der natürlichen Konvektion durch sich bewegende Platten mit porösen Medien aufgrund der Auftriebskräfte von Temperatur- und Konzentrationsgradienten.

Bukhari et al.17 beobachteten die Wärmeübertragung der Flüssigkeit mithilfe des Magnet- und Strahlungseffekts, die biochemische Instrumente zur Pulsation etabliert haben. Pramanik18 unter der Sogwirkung einer nichtnewtonschen Flüssigkeit wird über der Dehnungsfläche beobachtet. Ali et al.19 untersuchen nicht-Newtonsche Casson-Flüssigkeitsströmungen mit Pulsation und symmetrischen Verengungshöckern an der Ober- und Unterseite. Während des Pulsationszyklus zeigt sich auch, dass eine Erhöhung des Werts des Porositätsparameters die Wandschubspannung verringert. Ali et al.20 analysieren den Wärmeübergang bei pulsierender Strömung in einem Kanal mit mehreren symmetrischen Verengungen an den Wänden. Lorentzkraft und Wärmestrahlung haben Einfluss auf die Strömung. Zur Lösung der instabilen Grundgleichungen wird der Finite-Differenzen-Ansatz verwendet, der für Flüssigkeiten mit geringer Leitfähigkeit vereinfacht wurde. Saqlain et al.21 offenbarten die Merkmale des nichtlinearen freien konvektiven Nanofluidflusses von abgestrahltem Casson-Fluid entlang ungleichmäßiger Wärmequellen oder -senken. Der thermophoretische Effekt und die verallgemeinerten Fourier- und Fick-Gesetze zur Untersuchung von Wärme und Massenbewegungen.

Mustafa et al.22 diskutieren Wärme und den instationären Fluss von Casson-Flüssigkeit über sich bewegende flache Platten im Parallelstrom und verwenden dabei die Homotopietechnik, um die Lösung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen im gesamten räumlichen Bereich zu finden. Samrat et al.23 untersuchten die Begrenzung des Brownschen Moments und die Thermophorese der magnetohydrodynamisch-freien Konvektionsströmung entlang des höheren Abschnitts des Rotationsparaboloids und unter Verwendung geeigneter Transformationen werden die maßgeblichen Gleichungen, die zu den Grenzbeschränkungen dieses Modells führen, in ODEs komprimiert.

Chemische Reaktionen spielen eine wichtige Rolle im Ingenieurwesen, in der Industrie und in den Biowissenschaften. Es gibt zwei Arten chemischer Reaktionen: exotherme und endotherme. Bei exothermen Reaktionsprozessen wird Energie freigesetzt, während bei endothermen Prozessen die Energie aus der Umgebung aufgenommen wird. Unter Berücksichtigung dieser Anwendungen der chemischen Reaktionen diskutierten Ganesh und Sridhar24 die Auswirkung der chemischen Reaktion auf die MHD-Randschicht. Sie fanden heraus, dass mit steigenden Werten der chemischen Reaktion das Konzentrationsprofil abnimmt. Dharmaiah et al.25 gelangten ebenfalls zu den gleichen Ergebnissen, indem sie die Auswirkungen von Hall und Ionenschlupf auf Nanoflüssigkeiten aus Magnet-Litan-Legierungen untersuchten. Der MHD-strahlende Casson-Nanofluid-Strom mit chemischer Reaktion durch das Darcy-Forchiemer-Medium wird von Ganesh und Sridhar26 untersucht. Sridhar et al.27 untersuchen die Untersuchung von MHD Williason-Nanofluiden über ein durchlässiges Medium an einer ausgedehnten Schicht vorbei. Der numerische Ansatz der Wärme- und Stoffübertragung von MHD-Casson-Flüssigkeit mit chemischer Reaktion wird von Ganesh und Sridhar28,29,30 vorgestellt. Sie beobachteten, dass der zunehmende Wert des chemischen Reaktionsparameters für die Abnahme der Wärmeübertragungsrate verantwortlich ist. Die chemischen Reaktionen, bei denen die Reaktionsgeschwindigkeit proportional zur m-ten Ordnung der Konzentration des Reaktanten ist, sind chemische Reaktionen m-ter Ordnung31,32,33.

Von Anfang an wird die natürliche Quelle der Sonnenenergie zum Wohle der Menschheit in Form von Wärme und Licht genutzt. Der Planet Erde erhielt eine lebenswerte Menge von \(4\times 10^{15}\) m/W Energie von der Sonne, was fast 200-mal mehr ist als die normalerweise verbrauchte Energie. Im Laufe der Zeit erkannte die Menschheit die Bedeutung der Sonnenenergie und entwickelte verschiedene Verfahren zur Speicherung und Umwandlung der Sonnenenergie in Wärmeenergie. Zhang et al.34 analysierten den Wärmeübertragungseffekt beim Einsatz der Schmelzwärmeübertragung. Sie fanden heraus, dass durch die Zugabe von Nanopartikeln mehr Energie erzeugt werden kann. Die Aktivierung von Energie, die durch eine chemische Reaktion entsteht, ist für eine stärkere Wärmeübertragung verantwortlich35. Shaheen et al.36 diskutierten die Auswirkungen variabler Eigenschaften auf staubiges Casson-Nanofluid mit chemischer Reaktion und Arrhenius-Aktivierungsenergie. Sie erwähnen, dass die Arrhenius-Funktion mit steigenden Werten der Aktivierungsenergie abnimmt. Die exotherme chemische Reaktion und die Aktivierung von Energie wurden von Ramzan et al.37 diskutiert und fanden heraus, dass bei einer exothermen chemischen Reaktion die Energie der Reaktanten höher ist als die der Endprodukte. Ramzan et al.38 diskutierten Hydrodynamik und Wärmeübertragung mit konvektiven Randbedingungen. Sie erkannten, dass Solarthermiesysteme aufgrund der schwachen thermophysikalischen Eigenschaften des Arbeitsmediums einen geringen Wirkungsgrad haben.

Das Ziel des vorliegenden Artikels ist die Modellierung des nichtlinearen thermokonvektiven Casson-Fluidflusses über einer geneigten ausgedehnten Oberfläche, was zu einem besseren Verständnis des Fluidflusses über nichtlineare Oberflächen führt. Die numerischen Ergebnisse dieser Studie können für biologische Systeme, die Textiltechnik, die Pharmaindustrie und die Polymerproduktionsindustrie genutzt werden. Die physikalisch wichtigen Größen wie Wandschubspannung, Massen- und Wärmeübertragungsraten werden anhand von Grafiken und Tabellen skizziert. Alle diese Größen spielen in Fertigungs- und Konstruktionseinheiten eine entscheidende Rolle.

Ramesh et al.45 untersuchten zeitabhängige Injektions-/Saug- und Gleiteffekte im Casson-mikropolaren Nanofluidfluss. In Gegenwart chemisch reaktiver Aktivierungsenergie untersuchten Madhukesh et al.46 den Bio-Marangoni-Konvektionsfluss von Casson-Nanoflüssigkeit durch ein poröses Medium. Unter Verwendung eines modifizierten Buongiorno-Modells untersuchten Puneeth et al.47 den dreidimensionalen gemischten Konvektionsfluss von Hybrid-Casson-Nanofluid über eine nichtlineare Streckungsoberfläche. Thammanna et al.48 untersuchten den Spannungs-Casson-Flüssigkeitsfluss in drei Dimensionen an einer instabilen Dehnungsfläche vorbei mit einer chemischen Reaktion. Einige andere ähnliche Studien finden sich in [?]. Nach Durchsicht der oben genannten Literatur stellte sich heraus, dass den Auswirkungen von Temperatur und Konzentration auf die Flüssigkeitsgeschwindigkeit nach Casson keine Beachtung geschenkt wurde. Um diese Lücke zu schließen, befasst sich der vorliegende Forschungsartikel mit der Modellierung des Casson-Flüssigkeitsflusses über die Oberfläche ausgedehnter poröser Schichten mit linearen und nichtlinearen volumetrischen Thermokonvektionseffekten. Die Navier-Stokes-Gleichungen werden mit Temperatur- und Konzentrationsgleichungen gekoppelt, indem lineare und nichtlineare Thermokonvektionsterme in die Impulsgleichung eingeführt werden. Die zugrunde liegenden Grundgleichungen werden durch geeignete Transformationen in ein System von ODEs umgewandelt. Die numerischen Ergebnisse des transformierten Systems von ODEs werden durch die Verwendung zweier verschiedener numerischer Schemata, der Parametric Continuation Method (PCM) und des bvp4c-Pakets, die unter Verwendung der Matlab-Software durchgeführt werden, erhalten. Beide Ergebnisse wurden ermittelt und es wurde festgestellt, dass sie sehr gut miteinander übereinstimmen. Zur weiteren Validierung der numerischen Schemata werden die gewonnenen Erkenntnisse tabellarisch aufgeführt und mit zuvor veröffentlichten Arbeiten verglichen, was ein genaues Ergebnis bis zu 3 Dezimalstellen liefert. Aus Gründen der Konvergenz, Effizienz und Genauigkeit wird die CPU-Zeit auch für PCM und bvp4c tabellarisch aufgeführt.

Eine lineare und nichtlineare thermokonvektive Casson-Flüssigkeit wird im Bereich von \((y>0)\) über der Oberfläche einer nichtlinearen porösen ausgedehnten Schicht mit dem Potenzgesetz \(u_{w}(x)=) betrachtet bx^{n}\) und variierende Wandtemperatur \(T_{w}=T_{\infty }+\delta x^{n}\), wobei \(\delta\) eine positive Konstante ist. Eine Änderung des Magnetfelds der Stärke \(B(x)=B_ox^\frac{m-1}{2}\) und in vertikaler Richtung verwendet. Die induzierten elektrischen und magnetischen Felder werden aufgrund der niedrigen magnetischen Reynolds-Zahl ignoriert. Koordinatensystem und physikalische Skizze sind in Abb. 16 dargestellt.

Geometrie des Problems.

Im aktuellen Problem sind die Randbedingungen wie folgt6:

Nichtdimensionale Transformationen sind wie folgt:

Unter Verwendung des Systems nichtdimensionaler Transformationen werden nichtdimensionale Gleichungen wie folgt gebildet:

Randbedingungen werden sein:

Die verwendeten Parameter sind unten aufgeführt:

Die physikalisch wichtigen Parameter wie Stoffübergangsrate, Wärmeübertragungsrate und Scherspannungsrate können mithilfe der folgenden Definitionen extrahiert werden:

wobei \(Sh_{x}\), \(Nu_{x}\), \(F_{m}\), \(F_{H}\) Sherwood-Zahl, Nusselt-Zahl, Masse bzw. Wärmefluss sind, \(\alpha\) ist die Wärmeleitfähigkeit und \(\sigma _{w}\) ist die Wandschubspannung. Diese können wie folgt definiert werden:

Einbeziehung der Gleichungen. (6) und (11) in Gl. (10) bekommen

wobei \(Re_{x}=\frac{u_{w}x}{\nu }\) die Reynolds-Zahl ist.

Die grundlegenden Schritte zur Lösung des ODE-Systems Gl. (7) und (8) lauten wie folgt39:

Schritt 1: Reduktion des Systems von BVP auf die ODE erster Ordnung:

Durch die Verwendung von Gl. (13) in das System der ODEs Gl. (7) erhält man

die entsprechenden Randbedingungen sind

Schritt 2: Einführung des Einbettungsparameters p:

Schritt 3: Differenzieren nach Parameter p:

wobei A und R die Koeffizienten- bzw. Restmatrizen sind und

wobei \(i=1,2,\ldots 7.\)

Schritt 4: Cauchy-Problem und Superpositionsprinzip anwenden40:

Lösen Sie die folgenden zwei Cauchy-Probleme für jede Komponente

Setzen Sie die Näherungslösung Gl. (23) in die ursprüngliche Gl. (21), zu erhalten

Schritt 5: Lösen der Cauchy-Probleme: Nach der Anwendung von Vorwärtsdifferenznäherungen für Gl. (24) und (25), um zu erhalten

Die numerische Lösung der Gl. (27) und (28) ist nur möglich, wenn die Matrix \((I-\triangle \eta A)\) nichtsingulär ist, d. h

Die Gleichungen (29) und (30) liefern die expliziten iterativen Lösungen für Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsfelder.

Der Casson-Flüssigkeitsfluss wird in Form von Gl. modelliert. (7) zusammen mit geeigneten Randbedingungen (8), über die Oberfläche einer nichtlinearen volumetrischen Thermokonvektion ausgedehnten porösen Folie. Die numerische Untersuchung der modellierten Gleichungen wird mit zwei unterschiedlichen Techniken PCM und bvp4c durchgeführt und in den Abbildungen dargestellt. 2, 3, 4, 5, 6 und 7. Die Gültigkeit beider Schemata wird auch grafisch in Abb. 8 dargestellt, die einen Kontrast der Ergebnisse für beide numerischen Techniken zeigt. Zur weiteren Validierung werden die numerischen Ergebnisse der PCM-Methode mit zuvor veröffentlichten Arbeiten verglichen und die numerischen Werte in Tabelle 1 tabellarisch aufgeführt. Die physikalisch relevanten Größen wie Sherwood-Zahl, Nusselt-Zahl und Wandschubspannung werden durch Diagramme (9–11) veranschaulicht. gegen verschiedene Parameter.

Die Variation des Konzentrationsprofils ist in Abb. 2a – d anhand verschiedener Parameter wie dem Casson-Flüssigkeitsparameter \(\beta\), der Eckert-Zahl Ec, dem Thermophoreseparameter Nt und dem Brownschen Bewegungsparameter Nb dargestellt. Der Casson-Fluidparameter \(\beta\) weist in der experimentellen Forschung ein duales Verhalten auf: Für \(\beta =2\) verhält er sich wie eine nicht-Newtonsche Flüssigkeit, während er sich für \(\beta \longrightarrow \infty\) wie eine nicht-newtonsche Flüssigkeit verhält. es wird zu einer Newtonschen Flüssigkeit. Aufgrund dieser Doppelnatur von \(\beta\) wird es sowohl in der experimentellen als auch in der theoretischen Forschung als wichtiger Parameter angesehen. Bei steigenden Werten von \(\beta\) im Bereich von 1,00 bis 2,50 nimmt die Flüssigkeit allmählich die Form einer nicht-Newtonschen Flüssigkeit an und die Flüssigkeit wird viskoser, was zu einem Rückgang des Konzentrationsprofils führt, wie in Abb. 2a. Die Eckert-Zahl gibt das Verhältnis von kinetischer Energie zu Anthalpie (Temperaturdifferenz) an. Der Einfluss von Ec auf das Konzentrationsprofil \(\phi (\eta )\) ist in Abb. 2b dargestellt und zeigt ein zunehmendes Profil von \(\phi (\eta )\) mit zunehmenden Werten von Ec. Dies ist auf die direkte Beziehung der Eckert-Zahl zur kinetischen Energie zurückzuführen, die zu einer viel stärkeren Übertragung von Flüssigkeitsmolekülen von der Oberfläche der Folie führt. Wie bereits in „Mathematische Formulierung des Problems“ gezeigt, stehen der Thermophoreseparameter Nt und der Brownsche Bewegungsparameter Nb in direktem Zusammenhang mit Temperatur- bzw. Konzentrationsunterschieden, wodurch die thermische Grenzschicht kleiner ist als die Konzentrationsgrenzschicht, wie aus Abb. 2c hervorgeht ,D. Und es kann ein Grund für eine Verringerung des Konzentrationsprofils \(\phi (\eta )\) für die steigenden Nt-Werte und eine Verbesserung des Profils für die steigenden Nb-Werte sein.

Abbildung 3a–d zeigt das Konzentrationsprofil für den chemischen Reaktionsparameter R, die Schmidt-Zahl Sc, die Prandtl-Zahl Pr und den nichtlinearen Streckungsparameter n für eine nichtlineare ausgedehnte Schicht. Die chemische Reaktion R hat die Fähigkeit, die Kollision zwischen Molekülen zu verstärken, was zu einer Erhöhung der internen Wärmeerzeugung des Systems führt, wodurch viel mehr Konzentration verbraucht wird. Dieser Konzentrationsverbrauch ist der Grund für eine Verringerung des Konzentrationsprofils bei steigenden Werten der chemischen Reaktion, siehe Abb. 3a. Abbildung 3b zeigt das Konzentrationsprofilverhalten gegenüber der Schmidt-Zahl. Die Stoffübergangsrate nimmt mit zunehmender Wirkung der Schmidt-Zahl ab, da sich die kinetische Viskosität der Flüssigkeit mit der Variation von Sc verbessert, was zu einer Abnahme des Stoffübergangs führt. Die Prandtl-Zahl Pr gibt das Verhältnis der viskosen Dicke zur thermischen Diffusionsfähigkeit an. Die Erhöhung der Prandtl-Zahl führt zu einer deutlichen Verringerung des Konzentrationsprofils und der Konzentrationsgrenzschicht, wie aus Abb. 3c hervorgeht. Dies ist auf die zunehmende Viskosität der Flüssigkeit zurückzuführen, die zu einer Verringerung des Konzentrationsprofils führt. Abbildung 3d wird bereitgestellt, um einen Begleiter zwischen dem linearen Streckblatt (\(n=0\)) und dem nichtlinearen Streckblatt (\(n>0\)) zu schaffen. Es ist zu beachten, dass die Stoffübertragung mit der Wirkung des nichtlinearen Streckparameters n abnimmt. Das lineare Dehntuch zeigt im Vergleich zum nichtlinearen Dehntuch die maximale Konzentration. Durch die Erhöhung des nichtlinearen Dehnungsparameters werden die Partikelmomente der Flüssigkeit parallel zueinander und das Konzentrationsprofil mit zunehmenden Dehnungskräften verringert, was zu einer Erhöhung der Druck- und Dehnungsbewegung führt.

Abbildung 4a–d zeigt die Leistung des Energieprofils gegenüber der Variation des Casson-Flüssigkeitsparameters \(\beta\), der Eckert-Zahl Ec, der Thermophorese Nt bzw. der Brownschen Bewegung Nb. Das Energieprofil nimmt mit der Auswirkung des Casson-Parameters ab, während es mit dem Ergebnis der Eckert-Zahl Ec zunimmt, wie in Abb. 4a, b dargestellt. Denn die Wanddehnung nimmt zu, während die spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeit mit der Variation der Eckert-Zahl abnimmt, was das obige Szenario verursacht. Thermophorese ist der thermodynamische Prozess, der aufgrund des Temperaturunterschieds innerhalb des Flüssigkeitsströmungssystems entsteht und die heißen Flüssigkeitsmoleküle in einen kalten Bereich transportiert. Aus diesem Grund wird die Wärmeübertragungsrate beschleunigt und kann in Abb. 4c dargestellt werden. Abbildung 4d verdeutlicht die Zunahme der Energieausbreitungsrate durch den Effekt der Brownschen Bewegung Nb. Die Brownsche oder zufällige Bewegung der Flüssigkeitsteilchen verursacht die Möglichkeit einer Kollision zwischen den Teilchen, die innere Energie freisetzt und zu einer Verschlechterung des Temperaturprofils führt. Abbildung 5a–c zeigt die Leistung des Energieprofils im Vergleich zur Variation des Parameters n, der Prandtl-Zahl Pr bzw. des Wärmequellenparameters \(\lambda\). In diesen Abbildungen zeigt Abb. 5a einen Vergleich des linearen Streckblatts (\(n=0\)) mit dem nichtlinearen Streckblatt (\(n>0\)). Es ist zu beobachten, dass das Temperaturfeld mit der Variation des Parameters n abnimmt, während es mit der Wirkung der Prandtl-Zahl und des Wärmequellenparameters \(\lambda\) zunimmt. Unter dem Einfluss der Prandtl-Zahl verringert sich die Temperaturleitfähigkeit des Fluids, weshalb mit ihrem Einfluss die Temperatur des Fluids ansteigt.

Abbildung 6a–d zeigt die Leistung des Geschwindigkeitsprofils gegenüber der Variation des Casson-Fluidparameters \(\beta\), des Parameters n, des Porositätsparameters K bzw. des Magnetfelds M. Abbildung 6a zeigt, dass das Geschwindigkeitsprofil mit der Wirkung des Casson-Parameters \(\beta\) und n abnimmt. Abbildung 6b zeigt die Komprimierung der Geschwindigkeiten bei linearen Streckblechen und nichtlinearen Streckblechen. Es ist zu beobachten, dass die Geschwindigkeit für das linear gedehnte Blatt maximal ist und dann mit zunehmendem Streckparameter abnimmt. Abbildung 6c,d zeigte, dass die Fluidgeschwindigkeit mit dem Ergebnis des Porositätsparameters K zunahm, während sie mit dem magnetischen M-Effekt abnahm. Durch die Variation des Porositätsterms können mehr Partikel durch die Poren gelangen, was den Flüssigkeitsfluss fördert. Andererseits erzeugt die Magnetkraft einen entgegengesetzten und widerstandsfähigen Effekt auf den Flüssigkeitsfluss, was zu einer Verzögerung des Geschwindigkeitsfelds führt.

Abbildung 7a–d zeigt das Geschwindigkeitsprofilverhalten gegenüber der nichtlinearen thermischen Konvektion \(\sigma_{1}\), der nichtlinearen Massenkonvektion \(\sigma_{2}\), der thermischen Grashof-Zahl Gr bzw. der Masse-Grashof-Zahl Gc. In Abbildung 7a und b wurde erläutert, dass das Geschwindigkeitsfeld mit zunehmender Wirkung der nichtlinearen thermischen Konvektion abnimmt, während es mit der Massenkonvektion zunimmt, da durch die stark exotherme Reaktion eine höhere Reaktantenkonzentration genutzt wird. Abbildung 7c,d zeigte, dass die Fluidgeschwindigkeit durch den Einfluss der thermischen und Massen-Grashof-Zahl zunahm. Physikalisch gesehen verbessert sich die Dehnungsgeschwindigkeit der Oberfläche durch Variation der Masse und der thermischen Grashof-Zahl, was zu einer Erhöhung des Geschwindigkeitsfeldes führt.

Abbildung 8a–d zeigt die vergleichende Analyse von PCM und Matlab, die im Paket bvp4c integriert sind. Man erkennt, dass beide Methoden am besten miteinander harmonieren. Zur weiteren Genauigkeit und Gültigkeit des vorliegenden numerischen Schemas werden die Ergebnisse der PCM-Methode mit bereits veröffentlichten Arbeiten verglichen. Tabelle 1 gewährleistet die Genauigkeit der vorliegenden numerischen Methode bis zu 3 Dezimalstellen, was eine sehr gute Übereinstimmung mit anderen numerischen Schemata darstellt.

Tabelle 2 übertreibt die Gültigkeit der vorliegenden numerischen Ergebnisse im Vergleich zu bereits veröffentlichten Arbeiten noch weiter. Die numerischen Werte der Wandschubspannung und der Wärmeübertragungsrate sowohl für linear gedehnte Bleche (\(n=0\)) als auch für nichtlinear gedehnte Bleche (\(n>0\)) sind in Tabelle 2 tabellarisch aufgeführt und sind sehr rational das zuvor veröffentlichte Werk.

Der Rechenaufwand einer numerischen Methode spielt im Bereich der numerischen Strömungsmechanik, insbesondere in der nichtlinearen Dynamik, eine sehr wichtige Rolle. Der Rechenaufwand hängt von den Kosten pro Iteration und der Anzahl der Iterationen ab. Die Kosten pro Iteration hängen von der Effizienz ab, während die Anzahl der Iterationen von der Genauigkeit der Methode abhängt. Unter Berücksichtigung dieser Bedeutung der Berechnungsmethode zeigt Tabelle 3 die CPU-Zeit für PCM und bvp4c für verschiedene Werte des nichtlinearen Parameters n. Es ist zu beobachten, dass die CPU-Zeit für PCM in jedem Fall kürzer ist als für bvp4c, sodass PCM gegenüber bvp4c bevorzugt wird.

Die physikalisch wichtigen Größen, wie Stoffübergang \(Sh_{x}(Re_{x})^{-1/2}\), Wärmeübergang \(Nu_{x}(Re_{x})^{-1/ 2}\)-Raten und die Schubspannungsrate \(Cf_{x}(Re_{x})^{1/2}\) spielen im Bau- und Maschinenbau und sogar in der Bodenmechanik und im Grundbau eine wichtige Rolle. Aufgrund dieses breiten Einsatzspektrums solcher Größen werden die numerischen Ergebnisse in den Abbildungen grafisch aufbereitet. 9, 10 und 11 gegen verschiedene Parameter. Abbildung 9a–d zeigt einen abnehmenden Effekt der Stoffübertragungsrate für den Parameter R der chemischen Reaktion, den Parameter k des porösen Mediums und die Schmidt-Zahl Sc, während die Stoffübertragungsrate für den Potenzgesetzindex n zunimmt. Es kann darauf zurückgeführt werden, dass die innere Energie der Fluidpartikel durch den chemischen Reaktionsparameter R erhöht wird, was die Wärmeübertragungsrate erhöht und infolgedessen mehr Konzentration verbraucht und die Stoffübertragungsrate verringert. Die Schmidt-Zahl Sc steht in direktem Zusammenhang mit der Viskosität \(\nu\) der Flüssigkeit, was zu einer Erhöhung der Stoffübertragungsrate führt.

Die Wärmeübertragungsrate \(Nu_{x}(Re_{x})^{-1/2}\) kann in Abb. 10a–d dargestellt werden. Die Wärmeübertragungsrate wird sowohl für den chemischen Reaktionsparameter R (Abb. 10a) als auch für den Casson-Flüssigkeitsparameter \(\beta\) Abb. 10c gegenüber der Eckert-Zahl Ec bzw. dem Brownschen Bewegungsparameter Nb erhöht. Man kann sehen, dass der Casson-Parameter innerhalb der Temperaturgleichung eine umgekehrte Beziehung zur Viskosität der Flüssigkeit hat. Aufgrund dieser umgekehrten Beziehung nimmt die dynamische Viskosität mit steigenden Werten von \(\beta\) ab und es wird dadurch viel mehr Wärme übertragen. Abbildung 10b,d zeigt, dass die Wärmeübertragungsrate mit steigenden Werten der Prandtl-Zahl Pr bzw. des Wärmequellenparameters \(\lambda\) abnimmt. Dieser Anstieg der Wärmeübertragungsrate ist auf die Verringerung der Thermodiffusionsfähigkeit der Flüssigkeit um die Prandtl-Zahl zurückzuführen.

Die Wandschubspannung ist die gleichmäßige Verteilung des Flüssigkeitsflusses über die Oberfläche. Dieser gleichmäßige Fluss ist das Ergebnis der elektromagnetischen Induktion, die einen gleichmäßigen zeitabhängigen Strom transportiert. Der Casson-Parameter \(\beta\) verhält sich bis zu einem gewissen Grad wie eine nicht-Newtonsche Flüssigkeit, die aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit einen Widerstand gegen den Fluss der Flüssigkeit erzeugt. Dies ist der Grund für die Verringerung der Wandschubspannung bei steigenden Werten von \(\beta\) gegenüber dem Konzentrationsauftrieb Gc (Abb. 11a). Magnetische Felder werden in der Strömungsmechanik üblicherweise zur Steuerung des Turbulenzverhaltens der Flüssigkeit eingesetzt. Das Magnetfeld erzeugt eine entgegengesetzte Kraft, die Lorentzkraft genannt wird, die der Strömungsbewegung der Flüssigkeit entgegenwirkt. Dies ist der Grund dafür, dass mit zunehmenden Werten des magnetischen Parameters M die Reibungskraft an der Oberfläche zunimmt, was zu einer Verringerung der Wandschubspannung führt (Abb. 11b). Die Variation der Wandschubspannung in Abhängigkeit vom Porositätsparameter k und dem Potenzgesetzindex n ist in Abb. 11c dargestellt. Die steigenden Werte des Porositätsparameters unterbrechen die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, was zu einer Verringerung der Wandschubspannung führt.

Konzentrationsprofil \(\phi (\eta )\) für feste Werte physikalischer Parameter \(\lambda =0,1\) \(k=8,933\), \(Pr=6,0\), \(M=0,5\), \(Gr=0,09\), \(Gc=0,05\), \(\sigma _1=1,1\), \(\sigma _2=10,9\), \(R=0,5\), \(Ec=0,6\ ), \(Nb=0,01\), \(Nt=0,1\) \(Sc=9,0\), \(fw=1,0\), \(\varphi =0,2\), \(n=0,01\) und \(\beta =2,5\).

Temperaturprofil \(\theta (\eta )\) für feste Werte physikalischer Parameter \(\lambda =0,1\) \(k=8,933\), \(Pr=6,0\), \(M=0,5\), \(Gr=0,09\), \(Gc=0,05\), \(\sigma _1=1,1\), \(\sigma _2=10,9\), \(R=0,5\), \(Ec=0,6\ ), \(Nb=0,01\), \(Nt=0,1\) \(Sc=9,0\), \(fw=1,0\), \(\varphi =0,2\), \(n=0,01\) und \(\beta =2,5\).

Geschwindigkeitsprofil \(f'(\eta )\) für feste Werte physikalischer Parameter \(\lambda =0,1\) \(k=8,933\), \(Pr=6,0\), \(M=0,5\), \(Gr=0,09\), \(Gc=0,05\), \(\sigma _1=1,1\), \(\sigma _2=10,9\), \(R=0,5\), \(Ec=0,6\ ), \(Nb=0,01\), \(Nt=0,1\) \(Sc=9,0\), \(fw=1,0\), \(\varphi =0,2\), \(n=0,01\) und \(\beta =2,5\).

Vergleichende Analyse der PCM- und bvp4c-Methoden.

Variation der Sherwood-Zahl in Abhängigkeit von verschiedenen physikalischen Parametern.

Variation der Nusselt-Zahl in Abhängigkeit von verschiedenen physikalischen Parametern.

Variation der Wandschubspannung in Abhängigkeit von verschiedenen physikalischen Parametern.

Die rechnerische Bewertung wurde für die viskoelastische Casson-Flüssigkeit auf einer durchlässigen, dehnbaren Oberfläche durchgeführt. Exotherme chemische Reaktionen, Wärmeerzeugungseffekte, Magnetfelder und nichtlineare volumetrische Wärme-/Massenausdehnung sind der Hauptbeitrag der aktuellen Analyse. Das vorgeschlagene System der PDEs, die für die Flüssigkeitsbewegung verantwortlich sind, wird durch eine geeignete Transformation in das dimensionslose System der ODEs umgewandelt. Der erhaltene Satz Differentialgleichungen wird mithilfe des PCM-Verfahrens numerisch berechnet. Die erfolgreichen Ergebnisse sind die entscheidenden Punkte.

Das Geschwindigkeitsprofil nimmt mit der Massenkonvektion \(\sigma _{2}\) zu, da durch die stark exotherme Reaktion eine höhere Reaktantenkonzentration genutzt wird.

Physikalisch gesehen verbessert sich die Dehnungsgeschwindigkeit der Oberfläche durch die Variation der Masse und der thermischen Grashof-Zahlen Gr bzw. Gc, was zu einer Erhöhung des Geschwindigkeitsfeldes führt.

Die innere Energie der Fluidpartikel wird durch den chemischen Reaktionsparameter R erhöht, was die Wärmeübertragungsrate erhöht und infolgedessen mehr Konzentration verbraucht und die Stoffübertragungsrate verringert.

Die Schmidt-Zahl Sc steht in direktem Zusammenhang mit der Viskosität \(\nu\) der Flüssigkeit, was zu einer Erhöhung der Stoffübertragungsrate führt.

Aufgrund der umgekehrten Beziehung nimmt die dynamische Viskosität mit steigenden Werten von \(\beta\) ab und es wird dadurch viel mehr Wärme übertragen.

Die steigenden Werte des Porositätsparameters unterbrechen die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, was zu einer Verringerung der Wandschubspannung führt.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

Casson-Flüssigkeitsbeschränkung

Hitzequelle

Dimensionslose Konzentration

Neigungswinkel

Magnetische Induktion (Tesla (T))

Hautreibungskoeffizient

Eckert-Nummer

Dimensionslose Stream-Funktion

Auftriebskonzentration (N)

Thermischer Auftrieb (N)

Porositätsbegriff

Oberflächendurchlässigkeit

Magnetischer Effekt (Tesla T)

Brownsche Bewegung

Thermophorese

Lokale Nusselt-Nummer

Prandtl-Nummer

Absorptionskoeffizient

Chemischer Reaktionsbegriff

Lokale Reynolds-Nummer

Lokale Sherwood-Nummer

Umgebungstemperatur

Referenztemperatur

Referenzgeschwindigkeit

Bedingungen im Unendlichen

Oberflächenbedingungen

Wärmekapazitätsverhältnis (JK\(^{-1}\))

Massenkonzentration (g L\(^{-1}\))

Umgebungskonzentration (g L\(^{-1}\))

Spezifische Wärmekapazität (J Kg K\(^{-1}\))

Potenzgesetzindex

Schmidt-Nummer

Gbadeyan, JA, Titiloye, EO & Adeosun, AT Einfluss variabler Wärmeleitfähigkeit und Viskosität auf den Casson-Nanofluidfluss mit konvektiver Erwärmung und Geschwindigkeitsschlupf. Heliyon 6, 1–10 (2019).

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Muhammad Shuaib, Muhammad Anas & Hijab ur Rehman

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Iljas Khan

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Sagte M. Eldin

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MS: entworfen, die Ergebnisse analysiert; MA: Zahlen aufbereitet und diskutiert; HR: Software und Codierung; AK: Software und Codierung; IK: Analyse und Erstellung des Manuskripts: und Diskussion der Ergebnisse; KMU: überwachte die Forschung und Finanzierung.

Korrespondenz mit Arshad Khan.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

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Eingegangen: 27. Dezember 2022

Angenommen: 10. April 2023

Veröffentlicht: 18. April 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33259-z

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